$a> 0$ のとき 公式１：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ 公式２：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

特に $a=1$ とした式： $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2}dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ をお目にかかる機会が多いです。覚えておきましょう。

目次

公式１はガウス積分と呼ばれる非常に有名な定積分です。

このページの目標は公式１と部分積分を使って公式２を証明することです。 関連：部分積分について、基本的な使い方やコツを分かりやすく解説

それでは $x^2e^{-ax^2}$ の定積分を計算してみましょう。

$x\cdot xe^{-ax^2}$ と見て部分積分を使います。$x$ の微分は $1$，$xe^{-ax^2}$ の積分は $-\dfrac{e^{-ax^2}}{2a}$ なので、 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx\\ =\left[x\cdot\dfrac{-e^{-ax^2}}{2a}\right]_{-\infty}^{\infty}-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\dfrac{-e^{-ax^2}}{2a}dx$

ここで、 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-ax^2}=0$ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}-xe^{-ax^2}=0$ なので、第一項は $0$ になります。 関連：極限の基本的な公式、考え方一覧

よって、第二項のみが残って、 $\dfrac{1}{2a}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$ となります。

この定積分は公式１より $\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ となるので、結局 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

・$e^{-ax^2}$ や $x^2e^{-ax^2}$ は偶関数なので、積分区間を $[0,\infty]$ にすると値は半分になります： $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ $\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{4a}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

・$e^{-ax^2}$ や $x^2e^{-ax^2}$ の原始関数を初等的な関数で表すことはできません（つまり，不定積分はできません）。

次回は 1/(x^2+1), 1/(x^2+a^2) の積分公式 を解説します。